L’analyse discriminante est une méthode statistique d’analyse multivariée qui recherche les combinaisons de variables séparant le mieux des groupes connus à l’avance, puis s’en sert pour classer de nouveaux individus dans l’un de ces groupes.
Elle part d’un ensemble d’individus dont le groupe d’appartenance est déjà connu, par exemple des clients restés fidèles et des clients partis, et de variables quantitatives mesurées sur chacun d’eux. La méthode construit des fonctions discriminantes. Ce sont des combinaisons linéaires des variables qui maximisent l’écart entre les moyennes des groupes, rapporté à la dispersion à l’intérieur de chaque groupe. Le nombre de fonctions utiles ne dépasse pas le nombre de groupes moins un. Le statisticien R. A. Fisher en a posé le principe en 1936, dans un article des Annals of Eugenics consacré aux mesures multiples en taxinomie.
La méthode a deux volets. Le volet descriptif indique quelles variables séparent le plus les groupes. Le volet décisionnel fournit une règle d’affectation, dont on évalue la qualité par le taux de bon classement. Dans sa forme linéaire, elle suppose des variables de distribution normale dans chaque groupe et des matrices de variance-covariance égales d’un groupe à l’autre. Quand cette égalité ne tient pas, on recourt à une variante dite quadratique.
Elle se distingue de la régression logistique, qui poursuit le même but de classement avec des hypothèses moins exigeantes sur la distribution des variables. Elle se distingue aussi de l’analyse des clusters, qui cherche des groupes inconnus au départ, alors que l’analyse discriminante relève de l’apprentissage supervisé. En marketing, elle sert à profiler des clients qui ont acheté ou résilié, à valider une segmentation et à construire des modèles de scoring.
Des algorithmes plus récents classent souvent mieux. L’intérêt de l’analyse discriminante est ailleurs : ses coefficients disent quelles variables séparent les groupes et dans quel sens. Nous la recommandons lorsque la question porte autant sur la différence entre deux populations que sur la prévision. Un directeur marketing qui veut comprendre ce qui distingue un client perdu d’un client fidèle a besoin de cette lecture.
Elle rend un autre service, moins connu : valider une segmentation. Une typologie obtenue par analyse des clusters ne sert à rien si l’on ne sait pas y rattacher un nouveau client. Une analyse discriminante menée sur les segments obtenus montre si quelques variables disponibles dans la base clients suffisent à réaffecter chacun à son segment.
La matrice de confusion croise le groupe réel et le groupe prédit. Le taux de bon classement se compare toujours à une référence : celui qu’on obtiendrait en affectant tout le monde au groupe le plus nombreux. Avec 90 % de clients fidèles, un modèle qui classe bien 90 % des cas n’apporte rien. Regardez donc le taux de bon classement de chaque groupe, en particulier du groupe rare. Le lambda de Wilks, enfin, teste si les moyennes des groupes diffèrent significativement sur l’ensemble des variables.
Dans un projet de modélisation statistique, nous recommandons de l’estimer en parallèle d’une régression logistique : si les deux méthodes concordent, la lecture des variables est solide.
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L’analyse discriminante part de groupes connus et cherche ce qui les sépare ; l’analyse des clusters cherche des groupes qu’on ne connaît pas encore. La première est une méthode supervisée, la seconde une méthode non supervisée.
Les deux se combinent bien. Construisez d’abord une typologie de clients par analyse des clusters. Menez ensuite une analyse discriminante sur les segments obtenus. Vous saurez quelles variables les distinguent et vous disposerez d’une règle pour classer chaque nouveau client dans le bon segment.
Commencez par définir les groupes avec un critère daté, puis ne retenez que des variables mesurées avant l’événement étudié. Contrôlez ensuite trois points : les valeurs extrêmes, les variables très corrélées entre elles et l’effectif de chaque groupe.
Transformez chaque variable qualitative en indicatrices, après un codage des données rigoureux. Mettez enfin de côté un échantillon de validation, par exemple un tiers des individus, qui ne servira qu’à mesurer la performance du modèle.
Mesurez le taux de bon classement sur un échantillon de validation et comparez-le au taux obtenu en affectant tous les individus au groupe le plus nombreux. Seul l’écart entre les deux traduit l’apport du modèle.
Lisez aussi la matrice de confusion groupe par groupe. Un modèle peut afficher un bon taux global et manquer la plupart des cas du groupe rare, souvent celui qui intéresse le plus, comme les clients sur le départ. Vérifiez enfin que le lambda de Wilks indique une séparation significative.
La plus fréquente est d’utiliser une variable qui découle du groupe au lieu de le précéder. Le modèle semble excellent, puis échoue dès qu’il sert à prévoir.
Deux autres erreurs reviennent souvent. Évaluer la règle sur les données d’estimation surestime sa performance. Appliquer la forme linéaire à des groupes dont les dispersions diffèrent fortement dégrade le classement. Testez l’égalité des matrices de variance-covariance et, si elle est rejetée, essayez la variante quadratique ou une régression logistique.
Préférez-la quand ses hypothèses sont à peu près respectées et que vous voulez une lecture simple des variables qui séparent les groupes. Elle traite aussi directement le cas de trois groupes ou plus.
Renoncez-y au profit de la régression logistique si vos variables sont surtout qualitatives, très asymétriques ou si les dispersions diffèrent nettement entre groupes. En cas de doute, estimez les deux modèles sur les mêmes données et comparez leurs taux de bon classement sur l’échantillon de validation. Retenez le plus simple à expliquer à performance comparable.
