L’analyse de régression logistique est une technique statistique qui modélise la probabilité qu’un événement se produise, ou qu’un individu appartienne à une catégorie, en fonction d’une ou de plusieurs variables explicatives.
La variable à expliquer est qualitative. Dans le cas le plus courant, elle est binaire : acheter ou non, résilier ou rester, répondre ou non à une sollicitation. Le modèle n’ajuste pas une droite sur cette variable, ce qui pourrait produire des valeurs hors de l’intervalle de 0 à 1. Il modélise le logarithme de la cote, c’est-à-dire du rapport entre la probabilité de l’événement et celle de son contraire, appelé logit, comme une combinaison linéaire des variables explicatives. La fonction logistique reconvertit ensuite ce logit en une probabilité comprise entre 0 et 1. Les coefficients sont estimés par la méthode du maximum de vraisemblance.
Les résultats comprennent un coefficient par variable, son intervalle de confiance et un test de significativité. L’exponentielle d’un coefficient donne un rapport de cotes. Il indique par combien la cote de l’événement est multipliée quand la variable augmente d’une unité, les autres variables du modèle restant constantes. La qualité du modèle se juge sur sa capacité à bien classer des individus qui n’ont pas servi à l’estimer.
Elle se distingue de la régression linéaire, qui explique une variable quantitative continue, comme un montant d’achat. Elle se distingue aussi de l’analyse discriminante, qui poursuit le même but de classement mais repose sur d’autres hypothèses. Des variantes traitent plus de deux catégories, ordonnées ou non. En marketing, elle sert à estimer la probabilité d’achat, de réponse ou de départ d’un client, et fonde de nombreux modèles de scoring.
Face aux méthodes d’apprentissage supervisé plus récentes, la régression logistique garde un avantage décisif : elle s’explique. Chaque coefficient se lit, se discute avec les équipes métier et se justifie devant une direction. L’argument pèse lorsque le modèle sert à répartir un budget ou à écarter des clients d’une offre. Notre position : commencer par une régression logistique comme modèle de référence, puis ne retenir une méthode plus complexe que si elle classe nettement mieux sur des données de test.
Le taux de bon classement est l’indicateur le plus intuitif, mais il trompe quand l’événement est rare. À titre d’illustration, si 3 % des clients partent, un modèle qui annonce « personne ne part » classe bien 97 % des clients et ne sert à rien. Nous recommandons de lui préférer l’aire sous la courbe ROC, qui mesure la capacité à ordonner les clients du plus exposé au moins exposé, et le gain sur les premiers déciles : quelle part des départs se concentre dans les 10 % de clients que le modèle place en tête. La calibration complète l’examen : une probabilité annoncée de 20 % doit correspondre à environ 20 % d’événements observés.
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La régression linéaire explique une variable quantitative continue, comme un panier moyen ou un montant annuel d’achats. La régression logistique explique une variable qualitative, le plus souvent binaire, comme l’achat ou le départ, et produit une probabilité comprise entre 0 et 1.
Appliquer une régression linéaire à une variable binaire donne des prédictions qui peuvent sortir de cet intervalle. Critère simple : si la question porte sur un montant, pensez régression linéaire ; si elle commence par « est-ce que », pensez régression logistique. Un nombre d’événements, comme un nombre de visites, relève d’autres modèles adaptés aux comptages.
Le facteur limitant est le nombre d’événements, pas le nombre total de lignes. Avec 100 000 clients et 200 départs, ce sont les 200 départs qui fixent la limite.
Une règle empirique souvent citée demande au moins dix événements par variable explicative, mais elle ne garantit pas à elle seule des estimations fiables. En pratique, réduisez d’abord la liste des variables candidates sur des critères métier. Réservez ensuite une partie des données, par exemple un quart, pour tester le modèle.
Évaluez-le sur des données qui n’ont pas servi à l’estimer, avec trois contrôles. La capacité à ordonner, mesurée par l’aire sous la courbe ROC : 0,5 correspond au hasard, 1 à un classement parfait. Le gain sur les premiers déciles : la part des événements captée par les 10 % ou 20 % de clients classés en tête. La calibration : les probabilités annoncées doivent correspondre aux fréquences observées.
Méfiez-vous du seul taux de bon classement quand l’événement est rare : il paraît excellent même pour un modèle inutile.
La plus coûteuse est la fuite d’information : une variable connue seulement après l’événement, comme une demande de résiliation, donne une performance spectaculaire en test et nulle en production. Deuxième erreur : interpréter les coefficients comme des causes, alors qu’ils mesurent des associations. Troisième erreur : garder des variables explicatives très liées entre elles, qui rendent les coefficients instables.
Pour vous en prémunir, datez chaque variable par rapport à l’événement et vérifiez les coefficients de corrélation deux à deux.
Préférez-la quand vous devez expliquer le modèle : justifier une décision, convaincre une direction, vérifier l’absence de critère discriminatoire. Elle convient aussi aux volumes modestes.
Complétez-la, ou renoncez-y, quand les données sont très nombreuses et que les relations entre variables sont complexes, avec des effets croisés ou des seuils. Une méthode d’apprentissage supervisé plus souple peut alors mieux classer. Comparez toujours les deux sur les mêmes données de test avant de choisir, et gardez la plus simple à performance égale.
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